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A proposito del Delta Opzioni: il concetto di Derivata

I recenti due contributi sul divieto di vendita allo scoperto delle Opzioni MIBO sono stati molto seguiti evidentemente perché parecchi di noi si sono trovati con posizioni aperte in derivati senza saper più che pesci prendere

di Redazione Soldionline 14 dic 2011 ore 15:26

I recenti due contributi sul divieto di vendita allo scoperto delle Opzioni MIBO sono stati molto seguiti evidentemente perché parecchi di noi si sono trovati con posizioni aperte in derivati senza saper più che pesci prendere.
Tanto per riepilogare un po’, dicevamo che l’ago della bilancia sta tutto sul Delta.
Delta è il primo degli Indicatori sulle Opzioni cosiddetti “greci” per via del nome della lettera dell’alfabeto che li contraddistingue.
Come già sapete da altre lezioni sulle Opzioni o dal testo ‘Guida al Trading con le Opzioni’, gli altri indicatori ellenici sono i seguenti:

  • Gamma
  • Theta
  • Vega
  • Rho

In questa discussione cominciamo da Delta, sicuramente la greca fondamentale da cui, in parte, si ricavano le altre.

Per spiegare il Delta dobbiamo partire dal concetto matematico della Derivata.
Nella branca della matematica che si chiama Analisi, la Derivata è la base di tutto l’impianto del calcolo cosiddetto infinitesimale.

tangentePer dare significato al concetto di Derivata in modo intuitivo, partiamo dal grafico che vedete in cui una curva del piano colorata in rosso viene lambita da una retta blu. Bene! Ora però dobbiamo anche sapere che in geometria il verbo ‘lambire’ altro non rappresenta se non l’arcinota ‘tangente’. Dunque, per il momento, il concetto importante è questo: su una curva del piano abbiamo tracciato una tangente.

Nota:
Ma perché per spiegare le Derivate siamo partiti da un disegno di una curva e di una retta?
Semplice! In matematica abbiamo una gran fortuna, quella cioè di avere una corrispondenza diretta tra una formula e un grafico. Fantastico, non vi pare?
Tanto per fare alcuni esempi di questo stretto legame tra formule e grafici, guardate qui:

  • Y=aX  (esempio: Y = 5 moltiplicato X)     si può rappresentare con una retta
  • Y=aX2+BX+C (esempio: Y = 3X2+5X+6)    si può rappresentare con una parabola
  • X2/ A2+ Y2/ B2=1                                   si può rappresentare con una ellisse

Come vedete, qualsiasi formula corrisponde a un grafico e, viceversa, a ciascun grafico corrisponde una formula.
Ok, ci siamo.
Tornando alla Derivata, essa altro non è che la tangente di una curva in suo punto qualsiasi X0 o meglio, la Derivata è il NUMERO che misura la ‘pendenza’ della tangente in un certo punto della curva.
Per spiegarlo visivamente e sempre in termini grafici, supponiamo che la curva rossa resti ferma e che la retta blu, invece, partendo da sinistra, si metta in moto verso destra, sempre lungo la curva, seguendola in modo tangenziale. L’esempio più immediato è quello di un righello che si sposa lungo il nostro corpo in modo da lambirne continuamente la superficie: così facendo, il nostro righello resterà sempre tangente alla nostra pelle.
Dovrebbe essere chiaro: la Derivata della “curva del nostro corpo” in un qualsiasi punto di esso altro non è se non la pendenza del righello.
Ottimo!
Un ultimo piccolo passo e ci siamo … già! Perché quando si parla di ‘pendenza’ bisogna riferirsi alla ‘pendenza rispetto a qualcosa’.
Bene:

  • Diremo così che la pendenza è zero nel momento in cui il righello risulta  perfettamente parallelo all’asse cartesiano X, cioè quando è orizzontale
  • Diremo invece che la pendenza è infinita nel momento in cui il nostro righello è  parallelo all’asse Y, cioè quando è verticale

Lasciando il nostro esempio e generalizzando il concetto si ricava che: la derivata di una funzione in un punto è il numero che esprime la pendenza coefficiente angolare> della retta tangente alla curva in quel punto: nel nostro caso è zero quando la tangente è  orizzontale, è quando è verticale.
Passando ora a ciò che più ci riguarda da vicino, anche per le Opzioni si parla di Derivate specialmente quando si discute di Greche.

Per quanto riguarda la prima delle Greche , la definizione formale è questa: il Delta di una Opzione è la Derivata del valore dell'Opzione rispetto al sottostante, cioè:
Delta = D(f) / D(S)

La curva che rappresenta Delta è una ‘biscia’ un pò strana che, nel caso delle Call, assume questa forma (in blu):

delta

Come si può notare, il Delta di una Call oscilla tra i valori 0 e 1:

  • Delta tende a 0 per le call deeply Out the money
  • Delta tende a 1 per le call deeply In the money

Quando la call è At The Money, il suo valore è 0,5  esattamente a metà strada del percorso tra 0 e 1.
Adesso, sul punto del grafico in cui la biscia blu incontra l’At the money al valore 0,5  ho tracciato la tangente alla curva in rosso.
Perché la tangente? Ma certo! Come abbiamo spiegato la tangente altro non è che la visualizzazione grafica della derivata e a questo punto direi che tutto quadra perfettamente: delta = 0,5 significa pendenza a 45° della tangente alla curva nel punto esatto dell’At The Money.

Una proprietà geometrica che dovrebbe saltare subito all’occhio è il legame tra Delta e Probabilità.
Quando il delta di una call vale 0,5 vuol dire che è esattamente all’At The Money ed è proprio in queste condizioni che la probabilità che la call finisca In The Money o Out the money è esattamente del 50%.

Per familiarizzare il concetto, vediamo i delta delle Call giugno del 12 dicembre:

ftsemib_5

Come dicevamo, il Delta delle Call ITM (le prime della lista) tendono a 1 mentre quello delle ultime (OTM) tende a 0.

Non ci resta che calcolare il Delta tramite Excel e per far questo utilizzeremo il metodo di Black Scholes , anche se esistono le tecniche degli Alberi Binomiali per arrivare a conclusioni analoghe.

Vi attendo la prossima puntata per le istruzioni da passare ad Excel.
Non mancate all’appuntamento!

Francesco Caranti

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