A proposito del Delta Opzioni. Il calcolo in Excel – 2^ parte

La volta scorsa abbiamo parlato della greca Delta attraverso il significato geometrico di tangente.
Abbiamo anche preso confidenza coi valori che può assumere:

• Zero   per le Call profondamente Out The Money
• Uno    per le Call profondamente In The Money

e abbiamo visto una carrellata di Delta riferiti alle call scadenza giugno 2012.

I ragionamenti sul Delta e, in generale, tutte le spiegazioni matematiche che si possono fare e che faremo sulle greche e gli hedge, sono strettamente accademici e si potrebbe obiettare che lascino il tempo che trovano perché ciò che conta con le Opzioni è solo cavalcare bene il trend ma vi posso assicurare che una buona conoscenza dei concetti teorici aiuta a meditare, come per esempio l’ultima osservazione scaturita al termine della puntata precedente, cioè che il valore di Delta ha uno stretto rapporto con la probabilità degli eventi.
Dicevamo che una call con delta 0,5 ha la probabilità del 50% di passare In The Money, un po’ come succede quando si punta sul rosso o sul nero sul tavolo del Casinò.

LEGGI L'ARTICOLO PRECEDENTE: A proposito del Delta Opzioni: il concetto di Derivata

Proseguendo con la nostra indagine è curioso osservare che due call con scadenza diversa possono avere lo stesso Delta, cioè la stessa probabilità di sortita.
Vediamo un esempio coi dati di mercoledì 13 dicembre ore 10,28, FTSEMIB = 14902:

• Call Febbraio 16000  Delta = 0,355          premio 515
• Call Giugno 16500     Delta = 0,369          premio 755

Che significa?
Ma certo, significa che entrambe le Opzioni, pur avendo una scadenza e un valore diverso, hanno circa la stessa probabilità dell’evento, più o meno del 36%.
E così scopriamo un fatto importante, cioè quello di poter rischiare nello stesso modo prendendoci tempi diversi  oppure di poter tradare opzioni oblique con lo stesso grado di probabilità.
Nota:
Vale la pena ricordare che le Opzioni possono essere:

• Verticali        stessa scadenza e strike diverse
• Orizzontali     stesso strike, scadenza diversa
• Oblique         come nel nostro esempio: diverso strike e diversa scadenza

Ma perché dovrei tradare contemporaneamente una Febbraio 16000 e una Giugno 16500?
E quando vale la pena farlo?
Bè, diciamo subito che una obliqua a delta zero (così si chiama) presenta un certo numero di vantaggi ma attenzione perché in Borsa ogni medaglia ha sempre il suo rovescio.
Infatti: se contemporaneamente compro giugno e vendo febbraio mi ritrovo con questa situazione contabile:  (755-515)*2,5 = 600 euro spesi ma 500 punti di strike non coperti.
Poiché i due Delta sono uguali, sono in partita con una spesa minima e con la stessa probabilità di sortita ma debbo anche sperare che il comportamento del mercato vada in un certo modo .
Tanto per fare un esempio, auspicherei che la Borsa se ne stesse a questi valori fino a febbraio in modo da incassare febbraio completamente e che poi l’Indice salisse come un razzo fino a giugno. In questo caso mi ritroverei con una call giugno praticamente regalata.
Prima di chiudere l’argomento opzioni oblique che abbiamo solo sfiorato, vorrei ricordare che le strutture di Opzioni che hanno scadenza diversa vanno monitorate costantemente, possibilmente attraverso un foglio Excel collegato al DDE, perché in talune circostanze risulta più conveniente liquidare il portafoglio anzitempo e correre al bar a festeggiare invece che attendere le due scadenze successive.
Nota:
Nell’analisi finanziaria di un portafoglio Opzioni si utilizza la dizione italianizzata hedgare quando ci si vuole riferire a un portafoglio dinamico passibile di “ribilanciamento”.
In pratica, qualora si sia in possesso dei mezzi informatici necessari, è sempre possibile agire sui diversi pesi della bilancia per azzerare il rischio dinamicamente.

Ritornando a bomba sulla teoria del Delta, vediamo ora come sia possibile calcolarlo in Excel ma prima di farlo dobbiamo ricordare che tutto l’impianto numerico del pricing delle Opzioni si fonda sulle equazioni di Black Scholes Merton.
E chi se ne importa? Direte voi!
E invece è fondamentale perché se non ci fosse un legame intimo tra la determinazione del prezzo e quella delle greche, la struttura complessiva non starebbe affatto in equilibrio.
A questo proposito, la letteratura tecnica afferma (FABRICE DOUGLAS & ROUAH GREGORY VAINBERG 2007:
“... It is straightforward to demonstrate that there exists an intimate relationship between the Greeks from an option (or any other derivative) whose value f is derived from the price S of a non-dividend-paying stock, and the Black-Scholes- Merton (BSM) differential equation...”.
Tutto ciò per dire che per risolvere le derivate del calcolo di Delta, noi prenderemo la strada di Black Scholes ricordando però che questa strada non è univoca ma ne esistono altre che partono da teorie e postulati differenti (es: Alberi Binomiali, lemma di Ito e processo di Wiener).
Bene! Dopo tante chiacchiere partiamo col calcolo del Delta in Excel.

Iniziamo con l’elenco dei dati che ci servono:

1. Future                             Ok. Lo trovo su Borsa Italiana
2. Strike                              Non c’è problema
3. Interest Rate                    Il tasso di interesse
4. Volatilità                          Ok. Lo trovo su Borsa Italiana alla voce ‘Derivati’

Passo a)       Distribuzione normale standard
Partiamo da qui perché il nostro Delta altro non è che la Distribuzione normale standard di un qualche cosa .
Ma che cos’è la distribuzione normale standard?
Intanto diciamo subito che questa funzione è comunemente conosciuta come gaussiana dal nome del matematico tedesco Friederich Gauss, quel ragazzino prodigio di cui vi ho già parlato che a sei anni per calcolare la somma dei primi 200 numeri in successione si alzò in piedi nell’aula e disse alla maestra: ‘Prof: guardi che se lei fa questo calcolo: (200+201)/2 ottiene 20100 in zero secondi e si risparmia un sacco di fatica!”. Detto tra noi non avrei mai voluto avere un compagno di banco del genere perché si dice di lui che avesse un carattere schifoso J.
La gaussiana è una distribuzione di probabilità di tipo ‘continuo’ spesso usata per descrivere il comportamento delle variabili casuali. I valori che si ottengono si concentrano attorno a un valor medio e si addensano su un punto del grafico che assomiglia a una campana.
Per il momento sappiamo che Delta è la gaussiana di qualcosa, e fin qui tutto bene.
La funzione Excel della gaussiana è: =DISTRIB.NORM.ST(e) dove ‘e’ è il valore di cui si vuole trovare la distribuzione.
A questo punto non ci resta altro che capire come ottenere ‘e’.

Passo b)       ‘e’ come rapporto di ‘c’ e ‘d2’ , cioè  e=c/d2

Ciò che vogliamo dire è che Delta è la gaussiana di una divisione con:

1.  
   • Numeratore             ‘c’
   • Denominatore ‘d2’

Cominciamo a determinare ‘c’ che dalla formula di B&S in Excel risulta:

c= (LOG(S/K)+T*(r+0,5*v^2))
ma per farlo dobbiamo dire cosa siano rispettivamente: S, K, T, r, v

• S       è il Future
• K        è lo Strike dell’Opzione
• T       è il tempo residuo dell’opzione calcolato in percentuale sull’anno (es: sei mesi alla     scadenza = 0,5 anni)
• r        è l’Interest Rate, cioè il tasso di interesse privo di rischio (risk free)
• v        è la volatilità

Il campo ‘c’ è la somma di

• Logaritmo del quoziente tra il Future e lo Strike
• Moltiplicazione del tempo residuo per il tasso sommato alla metà del quadrato della vola

Niente paura! Calcoliamo subito ‘c’ partendo da un esempio numerico:

• Future          14274 (è il valore di regolamento di Borsa Italiana alla chiusura del 14/12)
• Strike           14500
• Tempo          Differenza in giorni rapportati a un anno tra il 14 dicembre 2011 e il 15                             giugno 2012. Nel nostro caso risulta 0,504

• Interest Rate 0,01
• Volatilità       0,3526

Dunque ‘c’ è uguale a:
Logaritmo(14274/14500)+0,504*(0,01+0,5*0,3526 al quadrato)
Risolvendo si ottiene c= 0,030
Ora passiamo al calcolo di ‘d2’ che in Excel risulta:
d2= v*RADQ(T)
Questa volta è più facile!
Risolvendo si ottiene d2= 0,250
Per concludere questa parte, troviamo finalmente e=c/d2 che, una volta risolta, produce:
e= 0,1180592497
Ora non resta che ritornare al passo a) e calcolare la gaussiana di ‘e’: cioè la DISTRIB.NORM.ST(e) in Excel.
Ecco il Delta della Call che cercavamo: Delta=0,547
Qui sotto trovate il copia-incolla del calcolo Excel con la spiegazione passo-passo dei calcoli parziali (in giallo le celle da alimentare: Expir / Spot Future / Strike / InterestRate / Volatility).
Ah, dimenticavo! Quello che non ho detto è che il Delta di una Put si ottiene da quello della Call sottraendo 1 ma di questo parleremo meglio nella prossima lezione.
 

Mi raccomando, non mancate al prossimo appuntamento su www.francescocaranti.com
In allegato il foglio Excel dell’esercitazione.
Francesco Caranti