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Gauss e la variabile casuale Normale

Gauss è senz'altro da annoverare tra i più grandi geni della matematica. A lui noi dobbiamo la formulazione della variabile casuale che porta il suo nome, frutto dei suoi studi di astronomia quale direttore dell'osservatorio astronomico di Gottinga

di Giancarlo Marcotti

Obiettivo odierno e del nostro prossimo incontro è di mostrare attraverso quali strumenti di matematica e statistica sia possibile tale valutazione. 

Gauss è senz'altro da annoverare tra i più grandi geni della matematica. Le sue Disquisitiones arithmeticae rientrano tra le opere più grandiose della storia del sapere umano. A Gauss si deve la scoperta della geometria non euclidea, del teorema fondamentale dell'algebra, la rappresentazione grafica dei numeri complessi e un'infinità di altri teoremi e dimostrazioni. A lui noi dobbiamo la formulazione della variabile casuale che porta il suo nome, frutto dei suoi studi di astronomia quale direttore dell'osservatorio astronomico di Gottinga. 

Per aver ben chiara l'importanza della  variabile casuale gaussiana basti pensare che essa è alla base della scienza statistica e che alla stessa è stato dato l'appellativo di Normale (come se tutte le altre fossero eccezioni!).

La sua ben nota forma a campana la rende inconfondibile. E' caratterizzata da un gran numero di proprietà: è simmetrica; la media, la mediana e la moda coincidono con il punto di massimo; la deviazione standard, infine,  è in corrispondenza del punto di flesso.



Per una ulteriore riprova dell'importanza della variabile casuale di Gauss è sufficiente ricordare che: 

  1. essa descrive perfettamente una moltitudine di fenomeni naturali, dalla statura di una popolazione, alla lunghezza delle foglie di una pianta;
  2. è la base dalla quale sono state ricavate le variabili casuali maggiormente utilizzate per la valutazione di test statistici (Chi Quadrato, t di Student, F di Snedecor);
  3. risponde al teorema del limite centrale, forse il più importante teorema della statistica, dove si enuncia che, detta X una variabile casuale di distribuzione qualsiasi, la somma di n v.c. X tra loro indipendenti, tenderà, all'aumentare di n, a distribuirsi come una gaussiana.

Come gran parte dei teoremi, anche quello del limite centrale è più complicato nella sua formulazione che nella comprensione. Per renderla chiara è bene ricorrere ad un esempio.

Consideriamo la  variabile casuale Lancio di un dado. E' facilmente comprensibile, vista la equiprobabilità di tutti i numeri, che la sua distribuzione sarà di tipo rettangolare come evidenziato dal grafico:




La variabile casuale Somma del lancio di due dadi può essere interpretata come la somma di due variabili casuali Lancio di un dado tra loro indipendenti, la cui distribuzione assume l'andamento come da grafico:



E' facilmente intuibile, a questo punto, che forma avrà  la distribuzione della variabile casuale Somma del lancio di trenta dadi.

Le infinite applicazioni della "Normale" costituiranno il tema principale del prossimo articolo.


Giancarlo Marcotti
giancarlo.marcotti@finanzainchiaro.it


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