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Il valore di un’opzione e il coefficiente delta

Iniziamo l’analisi delle greche, ovvero dei coefficienti di sensibilità del valore di un’opzione, con l’analisi del delta. Tale grandezza ci dice come varia il valore dell’opzione a fronte di una variazione contenuta del sottostante

di Marco Delugan 14 ott 2008 ore 15:09

Ci si riferisce a variazioni contenute del sottostante poiché il delta stesso varia al variare del sottostante.

Nell’equazione di B&S:


1_30

 

Nella formula di B&S il delta è espresso come la derivata prima del valore dell’opzione rispetto al sottostante. Sempre secondo il modello di B&S è possibile ricavare la formula in forma chiusa per il delta, che nel caso di una Call è:

 

Nel caso di una Put:
5_17

 

Con N( ) funzione di ripartizione di una variabile aleatoria Normale standard e d_1 parametro classico di B&S.

 

Il significato del delta. Abbiamo detto che il delta rappresenta la sensibilità del valore dell’opzione rispetto a variazioni del sottostante.

 

Nella costruzione del portafoglio risk neutral alla B&S, abbiamo visto che il delta è la quantità di sottostante da detenere per neutralizzare le fluttuazioni di un portafoglio costituito da una opzione europea e una quantità, pari a delta appunto, di sottostante.

 

Il modello B&S esprime questa quantità come N(d_1), nel caso di una Call. Cosa significa?

 

Dal punto di vista matematico, la funzione di ripartizione ci dice che il delta può essere considerato come una probabilità, precisamente la probabilità, in un mondo risk-neutral, che il sottostante a scadenza sia maggiore dello strike, dato il livello attuale del sottostante.

 

Parafrasando in termini finanziari, il delta rappresenta la probabilità l’opzione scada “in the money”, dato lo stato attuale del sottostante, in ipotesi che questo segua una passeggiata aleatoria neutrale al rischio.Da qui deriva che più l’opzione è “out of the money” più il suo delta sarà basso, poiché bassa è la probabilità di scadere “in the money”.

Al contrario più l’opzione sarà in the money più il delta si avvicinerà ad 1.

 

Delta (in ordinata) per una Call e una Put europee, scadenza 1 anno, strike 25, in funzione del livello odierno del sottostante (in ascissa).


6_15

Esempio

 Consideriamo una Call europea su Fiat, strike 8 €, scadenza dicembre 2008.

 

- supponiamo ieri Fiat valesse 10 €;

- ieri l’opzione valeva secondo B&S : 2.2137 €. Il suo delta era : 0.8961;

- supponiamo oggi Fiat valga 10,1 €, subisce quindi una variazione assoluta di  0.1 € (variazione percentuale dell’1%).


Il valore dell’opzione varierà di : Delta * variazione di Fiat = 0.8961* 0.1 =  0.08961 €.

Teoricamente l’opzione oggi dovrebbe valere 2.2137  + 0.08961 =  2.3033 €.

Da notare che l’opzione subisce un aumento del 4,05% a fronte della variazione dell’1% del sottostante. È il cosiddetto effetto leva, a cui fa riferimento la greca  lambda , in questo caso pari a 4,05.

 

Manu Monteux  

mmonteux@libero.it

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