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Il valore di un'opzione

Vedremo in modo intuitivo come la formula di B&S esprima il valore di un'opzione come il valore attuale di un valore atteso. Ricorderemo poi come questo valore attuale atteso sia una grandezza ricavata in un mondo neutrale al rischio

di La redazione di Soldionline 8 lug 2008 ore 10:47

Precedentemente abbiamo visto come l'equazione di B&S descriva l'andamento di un portafoglio che attraverso la pratica del delta hedging è perfettamente coperto,  e quindi cresce ad un tasso di interesse risk free (tasso cui un buon proxy può essere il Libor, tanto per intenderci).

L'equazione alle derivate parziali che descriveva questo portafoglio aveva la forma:



dopo l'imposizione di dovute condizioni finali , e dopo molti importanti passaggi matematico-concettuali, si giunge alla classica formula.
Per una Call europea:



per una Put europea:



dove:



con:

t: la data odierna;
S: il valore del sottostante in epoca t;
T: la data di scadenza dell'opzione;
K: il valore del premio, o strike;
r: il tasso di interesse "privo di rischio", assimilabile al tasso sui titoli di stato;
sigma: la volatilità del sottostante;
N( ): la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria Normale.

Aldilà della derivazione matematica, lunga e che richiede nozioni non basilari, proviamo invece a capire quale è la ratio di questa formula.

La quantità N(d),  rappresenta la funzione di ripartizione di una normale della quantità d, ossia indica la probabilità che eventi normalmente distribuiti assumano valori minori o uguali a d.

Abbiamo due quantità, il sottostante e lo strike (attualizzato) moltiplicati per delle probabilità: appare evidente quindi come il risultato, il valore dell'opzione, possa interpretarsi come un valore atteso.

Nelle formule non vediamo comparire il tasso di deriva reale del titolo (il valore del suo "trend"), ma solo il tasso d'interesse risk-free: partendo da questa assunzione è possibile dimostrare (questa dimostrazione è una delle basi della teoria del pricing dei derivati) come il valore dell'opzione sia pari al suo valore attuale atteso nel caso il sottostante segua una passeggiata aleatoria priva di rischio (ovvero con deriva pari al tasso risk free), quando in quel mercato vale la condizione di non arbitraggio.

È a questo concetto che si fa riferimento, quando si dice che la valutazione dell'opzione avviene in un mondo "risk neutral".

Vediamo ora il comportamento delle nostre funzioni C(S,t) e P(S,t).

Valore di una Call europea, scadenza 1 anno, strike 25, in funzione del valore odierno del sottostante (in rosso) e relativo payoff (linea nera):



Una Put con le stesse caratteristiche:



Call in funzione sia del sottostante che dell'approssimarsi della scadenza (strike 50, valore dell'opzione per tutti i livelli di sottostante da 1 a 100, in un anno di tempo):



In conclusione abbiamo visto come la formula B&S esprime il valore di un'opzione come il valore attuale atteso del suo payoff a scadenza, nell'ipotesi che il titolo sottostante segua una passeggiata aleatoria neutrale al rischio, dove neutrale al rischio significa semplicemente che il tasso di crescita atteso è il tasso risk-free.

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