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Alla ricerca delle serie storiche

La domanda rimasta in sospeso dagli articoli precedenti era la seguente: ammettendo l’esistenza di cicli, come è possibile individuarli all’interno di una serie di prezzi storici? La risposta è molto più semplice di quanto ci si possa aspettare

di Marco Delugan 5 set 2008 ore 11:09

Il metodo per determinare il periodo “medio” di un titolo è l’ormai famosa analisi R/S. Ebbene sì, il metodo è sempre stato sotto i nostri occhi.

I cicli non periodici possono essere visti come una generalizzazione dei cicli periodici. Per esempio una sinusoide ha un ciclo periodico costante di 2π. Serie storiche con comportamenti casuali possono avere dei cicli periodici, tuttavia la loro durata varia in modo casuale in base ad una distribuzione di probabilità. Se questa ha media e varianza finite, potrà essere misurata anche la durata media dei cicli che saranno quindi non periodici.

Nel caso che verrà considerato è stato usato il metodo di Peters, per mezzo del quale è stato calcolato e poi messo su un grafico cartesiano il Log(R/S) in funzione del Log(N), dove R/S è il rapporto ottenuto dall’analisi omonima, mentre N è il numero dei giorni considerati. La disposizione dei dati del log(R/S)n contro il log(n) segue costantemente la retta di regressione senza deviare sensibilmente, ovvero non si rileva un cambio strutturale nei dati del log(R/S)n. In tale circostanza la stima di H è fatta considerando come dati della regressione tutti i valori di N.

Tuttavia lo stesso procedimento darebbe risultati diversi se la serie esaminata presentasse un ciclo che si ripete non periodicamente, vale a dire presenta una memoria finita che comporta la fine dell'influenza che gli eventi passati (oltre un certo periodo) hanno sugli eventi attuali.

Vediamo cosa succede se partiamo da una funzione periodica conosciuta: il seno.

Ad esempio:

1_5

Dove con t esprimiamo genericamente il tempo.

Questa funzione è una semplice somma di seni. I coefficienti decimali sono stati introdotti per dotare la funzione di una frequenza maggiore in modo da semplificare i calcoli.  La funzione è soggetta a due cicli: il primo di periodo 20 π il secondo di periodo 200 π. Questo significa che i valori della funzione si ripeteranno ogni 20*3.14 ≈ 63 e ogni 200*3.14 ≈ 629 valori. Fingiamo di non saperlo e vediamo cosa ci dice l’analisi R/S.

L’andamento della nostra funzione è il seguente.

2_4

In ascissa abbiamo il tempo espresso in giorni, in ordinata f(x).

Dopo aver calcolato la serie di rapporti f(t+1)/f(t) possiamo applicare l’analisi R/S come la conosciamo.

Di seguito vengono riportati i risultati ottenuti.

3_4

Come si vede dal grafico, la curva segue un andamento quasi rettilineo fino in prossimità del punto LOG(N) ≈ 1.8 dove inizia a deviare e sembra seguire una nuova traiettoria. Un fatto analogo succede in corrispondenza dei valori LOG(N) ≈ 2.1 e LOG(N) ≈ 2.8.  Il motivo per cui l’n-esimo logaritmo di (R/S) si comporta in questo modo, è dovuta al fatto che una volta che la funzione ha completato il primo ciclo, l’intervallo tra il massimo e il minimo ha ormai raggiunto la sua misura massima.

Quindi i punti sopraindicati ci danno il periodo dei cicli a cui è soggetta la funzione. Per comprendere meglio guardiamo la seguente tabella.

4_4




Sono proprio i periodi che cercavamo! A dir la verità ce n’è uno in più: quello di periodo 40π. Si tratta di un’armonica, cioè di un multiplo dell’oscillazione fondamentale della funzione generato dalla somma delle sinusoidi.

Il metodo sembra funzionare. Fornisce buoni risultati anche con somme di tre sinusoidi di periodo diverso. Ora non ci resta che provare con una serie storica reale. Ma di questo ne riparleremo nel prossimo articolo.

Luca Mistrangelo      
lmistra@hotmail.com

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