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Il Paradosso di San Pietroburgo

… qualsiasi somma Finita non è sufficiente a giustificare Infinite e possibili scommesse …

di La redazione di Soldionline 22 mar 2006 ore 16:45

E' probabile che il Gioco esista da quando esiste il mondo.
Quasi certamente è il prodotto dell'eterna sfida dell'uomo, della competizione e dell'auto-affermazione ... ma questa non è materia mia, semmai di qualche professionista abilitato.

E' certo però che il gioco è nato agli albori della creazione: già 3600 anni prima di Cristo, in Medio Oriente, ci si dilettava con lanci di dadi primordiali ricavati dall'astragalo della pecora, che altro non è che l'osso del ginocchio dell' animale e che, una volta lanciato, può ricadere in quattro modi diversi costituendo un meraviglioso gioco d'azzardo naturale.

La tecnica ha poi proseguito 'regolarizzando' le sei facce di un cubo perfetto che ha denominato Alea da cui Dado e da cui anche il concetto di 'aleatorio' che ha assunto il significato di 'avvenimento legato all'incertezza' e dunque al caso.

Per quanto i termini caso e dado siano sinonimi del termine azzardo (in arabo: al-zahr : dado) e pare vogliano rappresentare l'assoluta incertezza, è proprio dallo studio delle regole di questi giochi che ha preso vita il calcolo delle probabilità, delle combinazioni, delle permutazioni e delle disposizioni dei numeri.

Come abbiamo potuto verificare negli esperimenti di Frate Pacioli, di Fermat e del Cavalier de Méré e nel gioco del Chuck a Luck, esistono scommesse più o meno 'oneste' che rispettano (o non rispettano) la probabilità di vincita corrispondente.

Alcuni giochi sembrano apparentemente equi ma, osservati da vicino, si dimostrano molto spesso ingannevoli.

Per quanto possa sembrar strano, il gioco più onesto in assoluto è proprio quello più disdicevole e immorale del mondo: il lancio dei dadi, qualora questi siano 'perfetti' e quindi abbiano superfici e pesi regolari.

Un dado regolare risponde alla probabilità esatta di 1/6 per ogni faccia e in questo senso una scommessa su una di esse è - probabilisticamente parlando- una scommessa onesta: molto più di quella di De Méré o del Chuck a Luck.

Se però vogliamo semplificare i nostri studi, è sufficiente fissare l'attenzione su un altro gioco elementare di probabilità: alludo al lancio di una moneta perfetta e alla probabilità del Testa-Croce.

Le nostre conoscenze ci insegnano che ogni lancio ha una probabilità del 50% di riprodurre una delle facce.

Se tutto ciò è banale, ben più complessa è la risposta al problema della ripetizione dei lanci che incuriosì e infastidì a lungo i matematici, in modo particolare lo svizzero Daniel Bernoulli alla fine del settecento.

Il problema di Bernoulli sui lanci ripetuti ha a che vedere da vicino con l'eterno sogno del giocatore del Casinò, cioè quello della puntata ripetuta sullo stesso Colore.

La regola del gioco è molto semplice e si può spiegare in due parole:

Si inizia a puntare un Euro sul Rosso e si attende il primo esito.
In caso positivo si intasca la vincita, diversamente si raddoppia la posta e si continua a giocare.

Per non complicare troppo la spiegazione, decidiamo di trascurare l'effetto dello ZERO che, come certamente saprete, sposta la probabilità a favore del Banco.
Supponiamo quindi di fare le nostre puntate su una Roulette onesta di soli 36 numeri: 18 rossi e 18 neri.
Questa ipotesi equivale a quello del lancio di una moneta con la stessa probabilità del 50% di ottenere Testa o Croce.

Il ragionamento elementare che sta alla base dell'illusione della vincita 'certa' mediante il raddoppio della posta è quello che, prima o poi, il Rosso dovrà uscire senz'altro.

La tabella mostra la progressione di 8 partite consecutive al raddoppio:


Partitaa)b)c)d)e)f)g)h)
Posta1 euro2 euro4 euro8 euro16 euro32 euro64 euro 128 euro


Ammettendo di avere riserve finanziarie adeguate, è lecito pensare di avere la vittoria in tasca perché prima o poi l'esito favorevole si dovrà sicuramente presentare.

Ma Bernoulli, di fronte a questo problema, si pose per primo la domanda sull' 'utilità attesa' che, molto semplicemente, si può riassumere con questo doppio enunciato:

Uno scommettitore "razionale" non rinuncerebbe mai alla possibilità di raddoppiare qualsiasi somma, per quanto estremamente ridotta.
Al contrario, nessun scommettitore "avveduto" accetterebbe una scommessa, per quanto elevata, quando l'utilità procurata risulta sconosciuta.

Il problema è diventato storico ed è conosciuto come il Paradosso di San Pietroburgo poiché proprio in quella città venne formulato per la prima volta.

Al tempo di Pietro il Grande a San Pietroburgo esisteva già un casinò regolare.
Quanto sarebbe stato disposto a pagare un giocatore per poter partecipare al gioco?
Già nel Settecento, in Russia si conosceva uno dei principali fondamenti dell'economia per cui l'aspettativa di un guadagno è data dal prodotto del guadagno ottenibile per la probabilità di ottenerlo.
In questo senso, la misura dell'aspettativa del guadagno totale è il risultato della somma delle aspettative di guadagno per ogni possibile situazione.
Poiché, nel nostro caso, a ogni tiro il guadagno si raddoppia (ma la probabilità di arrivarci si dimezza), l'aspettativa di guadagno a ogni tiro è sempre la stessa: quindi l'aspettativa di guadagno totale diventa infinita.
Il giocatore dovrebbe allora essere disposto a giocarsi tutto ciò che ha, pur di poter partecipare: e ciò contrasta con l'ovvia osservazione che più si paga per giocare e minore è la probabilità che si riesca a guadagnare più di quanto si sia pagato.

In parole povere, dobbiamo immaginare 2 giocatori:

1) dotato di mezzi normali
2) molto facoltoso.

Supponiamo dunque che, proporzionalmente alle aspettative, le puntate iniziali siano:

· 1 Euro per il primo
· 100 Euro per il secondo

Supponiamo ora che l'uscita del Rosso sia rispettivamente:

· Al 22° giro per il primo giocatore
· Al 3° giro per il secondo.

Capite bene che le capacità finanziarie del primo giocatore dopo 21 giri in perdita forse non saranno sufficienti e che egli si troverà, suo malgrado, a dover rinunciare perdendo una somma considerata cospicua per le proprie possibilità.

Al contrario, la vincita di 100 Euro netti per il secondo giocatore (-100 -200 +400 = 100) non porterà particolari benefici alla propria ricchezza personale.

Dunque: qualunque somma Finita non è ritenuta sufficiente a giustificare infinite e possibili scommesse.

L'assunto di Bernoulli fu presentato per 'criticare' il concetto di gioco equo nel contesto dei giochi onesti.

... e non si tratta di un gioco di parole: egli volle rimarcare che, poiché la probabilità di vincere 1 milione di Euro è circa 1/1.000.000, non si può sostenere che il pagamento di una somma elevata è comunque adeguato all'interesse dello scommettitore.

Il fatto che l'utilità non sia proporzionale alla quantità di un bene è un principio fondamentale dell' Economia noto come 'principio dell'utilità marginale': se 1000 Euro in più o in meno possono avere un qualche significato per tutti noi, la differenza tra 1.000.000 e 1.001.000 euro è praticamente irrilevante.

Vi lascio a fantasticare su questi problemi di 'relatività economica' sui quali torneremo in occasione di nuovi e divertenti giochi finanziari.

A presto.



Per commenti, domande, suggerimenti,
scrivete a Francesco Caranti



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