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Opzioni: la formula di Black Scholes in Excel

Come vi dicevo, il Nobel all’Economia passò di mano da Black a Merton che comunque aveva abbondantemente collaborato ai lavori sul pricing delle Opzioni.

di Redazione Soldionline 2 gen 2012 ore 16:50

Articolo a cura di Francesco Caranti

La foto che vediamo è del 1977: Scholes è alla sinistra mentre Black è alla nostra destra.
Come vi dicevo, il Nobel all’Economia passò di mano da Black a Merton che comunque aveva abbondantemente collaborato ai lavori sul pricing delle Opzioni.
Il modello di Black-Scholes-Merton altro non è che la funzione dell'andamento dei prezzi degli strumenti finanziari al passare del tempo.
Per quanto riguarda i nostri scopi di traders, riterrei inopportuno soffermarmi con voi su come si sia arrivati alla formula del modello matematico in questione; ciò che voglio dire è che tralasceremo i singoli passaggi, assumendo cioè come “vera” la teoria e la critica sottostante.
Ciò che invece mi preme sottolineare è il concetto di non arbitraggio su cui gli economisti e i matematici hanno a lungo disquisito e argomentato prima di arrivare al consensus finale.
Per comprendere grossolanamente il problema, va detto che il dilemma principale dei professionisti del pricing era e rimane il rispetto dell’arbitraggio.
Il concetto è molto semplice da enunciare ma molto più complesso da spiegare.
Volendo stringere, ci limitiamo a questo assunto: la creazione dei prezzi delle opzioni non deve mai creare situazioni di vantaggio/svantaggio per gli operatori.
E il concetto è sano perché se solo esistesse una falla nel sistema dei prezzi, ai più attenti l’anomalia non sfuggirebbe di certo e in molti si butterebbero nella mischia per approfittare di talune condizioni oggettivamente vantaggiose.
Faccio un esempio per essere più chiaro: se davvero esistesse una o più combinazione di put e di call a questa o a quella scadenza che riuscisse a procurarmi un gain certo e sicuro indipendentemente dalle condizioni di mercato allora sarei sicuramente uno sprovveduto a non approfittarne.
Abbiamo capito: le formule dei prezzi delle Opzioni non debbono mai creare arbitraggio.
Facile? Ma neanche un po’!
Considerate che la nostra Borsa (una delle più piccole al mondo in termini di prodotti finanziari e di volumi) quota giornalmente circa 300 tipi di Opzione. Ebbene: queste 300 opzioni a strike e scadenze diverse debbono rimanere in costante equilibrio tra loro. Ecco perché le greche Delta, Gamma, Omega e ‘chi più ne ha ne metta’ sono sempre lì pronte, come sentinelle, a gestire l’impianto dei prezzi in modo da salvaguardare ed equilibrare la situazione ad ogni secondo.
Nota:
Ho riflettuto a lungo sul meraviglioso impianto di prezzi della nostra Borsa: migliaia di equazioni reggono l’impianto complessivo attraverso il calcolo, un po’ come un funambolo resta in equilibrio sulla corda del circo: e tutto, naturalmente, deve quadrare alla perfezione, pena il crash del sistema telematico e l’addio ai nostri soldi.
Se solo Black, Scholes e Merton avessero mai immaginato in quell’ormai lontano 1977, quando le reti di computer erano solo un miraggio, ciò che è stato costruito nel tempo sulla base delle loro equazioni, io penso sinceramente che sarebbero rimasti senza fiato ad ammirare un sogno diventato realtà.

Passando dalla teoria alla pratica ma ancor prima di entrare nei dettagli del calcolo in Excel, voglio ricordare che tutto inizia con Delta su cui ci siamo soffermati a lungo durante le puntate precedenti.
Va detto anche che Delta, a sua volta, è costruita sulla base di 5 elementi fondamentali:

  • Sottostante corrente
  • Strike
  • Tempo alla scadenza
  • Volatilità
  • Tassi di interesse

Entriamo adesso finalmente nella sequenza del calcolo cominciando dal copia-incolla del foglio Excel della lezione del 16 dicembre: “A proposito del Delta Opzioni. Il calcolo in Excel – 2^ parte” che potete riguardare sul Sito.
Unica differenza: poniamo lo Strike uguale al Future e gli Interessi a zero.
Il perché lo anticipiamo subito: vogliamo dimostrare, formula alla mano, l’equazione di parità delle Opzioni, cioè che una Call e una Put At The Money hanno lo stesso valore.
Si comincia!

equazione_blackscholes

In questo esempio si calcola il Delta di una Call dal 29 dicembre 2011 al 15 giugno 2012.
Si immagina il Future in equilibrio con lo strike (14500), un interest rate a zero e una volatilità di 0,3526.

Il calcolo del Delta porta a 0,548 (ultima riga). Facciamo di nuovo il copia-incolla del foglio Excel, dopo aver colorato di verde le  7 celle che ci serviranno per arrivare alla formula di Black Scholes.

equazione_blackscholes2

Perfetto!

Le celle colorate in verde sono:

  • Spot Future
  • Strike
  • Interest Rate
  • Time Maturità %
  • d2
  • e
  • Delta Call

tutte le altre celle non ci interessano più.

 

Procediamo adesso con un secondo pezzo di Excel collegato al precedente: lo vediamo con lo sfondo in turchese:

equazione_blackscholes3

Le celle in sfondo turchese del nuovo Excel derivano tutte da quelle evidenziate in verde.

Da notare la cella ‘g3’ che calcola la potenza neperiana di ‘g2’ … ma di Nepero ormai conosciamo ‘quasi’ tutto.

 

 

La formula generalizzata dell’equazione delle Call è la seguente:

BS_call = S * Distrib.norm.st(e) - Exp(-r * T) * K * Distrib.norm.st(e - v * Radq(T))

Per quanto invece riguarda le Put, la conclusione è la seguente:

BS_put = BS_call -S + K * Exp(-r * T)

Come possiamo notare, supponendo:

  • nullo l’Interest Rate
  • il Future coincidente con lo Strike

ecco che il valore della Call risulta identico a quello della Put, cioè 1385.

Con questo esempio si dimostra la proprietà della parità Put/Call all’At The Money.

Bene! Il grande pilastro di Black e Scholes sta finalmente in piedi e tramite Excel ora possiamo divertirci a trovare il prezzo di una Opzione qualsiasi. Il dilemma resta sempre il valore esatto da dare alla volatilità ma in questo caso l’aiuto viene dal Sito di Borsa Italiana che lo propone ogni giorno.

Vi ricordo ancora una volta che tutte le esercitazioni che vorrete fare su questo foglio Excel sono strettamente accademiche, nel senso che non portano alcun valore aggiunto se non quello di una miglior comprensione degli strumenti su cui ci troviamo a lavorare ogni giorno.
I sistemi di pricing della London Stock Exchange Group che gestisce il flusso di Borsa Italiana lavorano in perfetto real-time e tutte le informazioni sul parametro fondamentale (volatilità) sono gestite nell’ordine della frazione di secondo; ciò per dire che non dovrete stupirvi se i valori ottenuti dal nostro Excel possono marginalmente differire da quelli istantanei che leggete sul book: l’impianto di Borsa è estremamente dinamico e guai se così non fosse.

Riprenderemo presto l’argomento del pricing con nuovi contributi e ancora una volta con l’aiuto del nostro amico Excel.

Vi aspetto sempre su questo Sito.

Francesco Caranti

Tutti gli articoli su: opzioni , corso opzioni

Commenti dal 1 al 1
(1)

Roberto lunedì, 2 gennaio 2012

grande Caranti!

Caranti eri e sei un grande! Colgo l'occasione per augurarti un 2012 ..di riscossa!

Roberto Capaccioli

n° 1
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