Opzioni: da Delta a Black Scholes attraverso Nepero

Il contributo di oggi ci consentirà di conoscere il legame intimo tra la greca di sensibilità Delta e la formula di Black Scholes per la determinazione dei prezzi delle Opzioni.
Della volta scorsa, ricordo che avrei dovuto parlarvi di Theta ma in realtà ho pensato che fosse meglio insistere ancora su questo argomento per poterlo interiorizzare al meglio.

LEGGI L'ARTICOLO: A proposito del Delta Opzioni: il concetto di Derivata

A proposito della formula per il calcolo del valore delle Opzioni, va ricordato che Merton e Scholes ricevettero nel 1997 il Premio della Banca Centrale di Svezia per le scienze economiche in memoria di Nobel (premio per l'economia) ma che la stessa cosa non successe a Black perché questi era morto prematuramente solo due anni prima. Peccato, mi dispiace per lui!
Ma già che oggi parliamo di esìmi matematici e finanzieri, vorrei fare un passo indietro, arretrando addirittura al 1500 per rispolverare un altro grande pensatore, cioè l’illuminato scozzese Giovanni Nepero.
Nepier (o Nepero) non era un matematico di professione, semmai un abile e ricco proprietario terriero attento a una perfetta gestione delle sue terre. Si dilettava di matematica e il suo hobby preferito era la semplificazione dei calcoli ripetitivi fino a fare dei logaritmi la sua più grande passione.
Già! Partiamo da qui: che cosa sia un logaritmo è presto detto.
Tutti noi sappiamo che se faccio: 10 x 10 sarebbe come dire che eseguo 10 alla potenza di 2, cioè elevo 10 alla seconda.
In altre parole: 102=100.
Fin qui niente di strano, ma qualora volessi divertirmi a ragionare al contrario, potrei sempre dire che il numero ‘2’ è l’esponente che bisogna dare a 10 per ottenere 100.
Ecco trovata la definizione del logaritmo per l’uomo della strada (essere troppo matematici non serve e confonde solo le idee).
Orbene, il logaritmo è l’esponente che bisogna dare a una ‘base’ per trovare un certo numero.
Facile, vero?
Facciamo altri esempi:

• da 102=100             deriva che il logaritmo in base 10 di 100 è 2
• da 103=1000           deriva che il logaritmo in base 10 di 1000 è 3
• da 104=10000         deriva che il logaritmo in base 10 di 10000 è 4

Ora però, seguendo il ragionamento di Nepero, possiamo andare oltre pensando che le (cioè il nostro 10) non siano sempre e solo il numero 10.
E’ vero! Avendo noi umani 10 dita forse è più facile assumere questo numero come base naturale ma non è detto che si debba pensarla sempre in questo modo.
Ma Nepero si tortura a lungo su un problema un po’ diverso, cioè quello della funzione esponenziale.
Vediamo subito di cosa si tratta.
Poniamo di pensare a una somma di numeri che rispondano a questo criterio:
1/0 + 1/1 + 1 /2 + 1/6 + 1/24 …
In realtà, ciascun elemento di questa somma fa parte di una serie numerica in cui il numeratore è sempre 1 mentre il denominatore è il cosiddetto fattoriale che in matematica si esprime col simbolo “ ! ”.
In pratica, la somma appena esposta potrebbe essere scritta così:
1/0! + 1/1! + 1 /2! + 1/3! + 1 /4! …
Che differenza c’è tra questi due modi di scrivere la stessa serie numerica? Nessuna, ovviamente.
Il fatto è che ricorrendo alla tecnica del ‘fattoriale’ si fa molto prima.
Vediamo che cosa rappresenta il fattoriale nella pratica:

• 0!       ‘Zero fattoriale’ per definizione vale sempre 1 (misteri della matematica!)
• 1!       ‘Uno fattoriale’ è la moltiplicazione di 1 per il suo precedente numero intero   naturale, cioè 0. Dunque 1! è uguale a 1 x 0 cioè ancora 1
• 2!       ‘Due fattoriale’ è la moltiplicazione di 2 per il precedente 1. Quindi: 2 x 1 = 2
• 3!       ‘Tre fattoriale’ è 3x2x1=6
• 4!       ‘Quattro fattoriale’ è 4x3x2x1 = 24

Perfetto, tutto quadra!
Scrivere:
1/0 + 1/1 + 1 /2 + 1/6 + 1/24 …
equivale a scrivere

1/0! + 1/1! + 1 /2! + 1/3! + 1 /4! …

Tornado al nostro amico Nepero, lo scozzese si pone a lungo la questione di quale sia il valore della somma della serie matematica di cui stiamo parlando, ammesso di andare avanti all’infinito con il fattoriale che sale a 5, poi a 6 e così all’infinito.

Se proviamo a fare la somma dei primi 5 elementi della serie otteniamo:
1/0! + 1/1! + 1 /2! + 1/3! + 1 /4! = 1+1+0,5+0,16666+0,04167 = 2,708
Ma se volessimo procedere all’infinito, cioè oltre i primi 5 elementi, arriveremmo a un numero un po’ strano che in matematica ha qualcosa a che vedere col 3,14 di pi-greco.
Stiamo parlando di una costante e, per di più, di un numero irrazionale  e trascendente.

• Costante                perché è sempre uguale
• Irrazionale              in quanto ‘non termina mai’ per quanto si insista a procedere                                        in avanti coi calcoli
• Trascendente          in quanto ‘non algebrico, vale a dire non risolvibile con nessuna                                      equazione polinomiale … ma qui lasciamo perdere

 
Nepero ovviamente non conosceva Excel, mentre noi, oggi, ci possiamo divertire a trovare il valore più preciso possibile di questa costante, ovvero la costante di Nepero, anche detta numero ‘e’ .
E’ sufficiente impostare in Excel la funzione exp(1).
Usando i primi quattordici decimali si ottiene questa approssimazione:

e = 2,71828182845905
Nota:
La costante ‘e’ di Nepero è anche conosciuta come numero di Eulero (e forse l’iniziale ‘e’ la dice lunga in proposito) in onore del matematico svizzero che collaborò a lungo con lui.
Che io sappia Eulero e Nepero erano ottimi amici e non mi risulta che abbiano mai litigato in merito al primato sul numero ‘e’.
Data l’irrazionalità del numero e, cioè la impossibilità di venirne a capo nonostante l’estensione della serie, nei calcoli correnti ci si ferma al secondo decimale, un po’ come si fa con pi-greco quando ci si arresta a 3,14 tralasciando il resto.
Dunque:

• Costante pi-greco     =       3,14
• Costante ‘e’            =       2,71

…
Forse ho un po’ divagato ma tutto ciò credo sia servito per dire sostanzialmente questo:
“non esistono solo logaritmi in base 10 ma anche logaritmi in base ‘e’ “

Se dunque il logaritmo in base 10 di 10 è 1, sarà altrettanto vero che il logaritmo in base ‘e’ di ‘e’ sarà ancora una volta 1.
Le due espressioni si scrivono così:

• Log10    10      = 1
• Loge      e        = 1

Tanto per farla breve, tutti noi ormai sappiamo che in matematica esistono parecchi numeri ‘magici’ che, non si sa perché, presentano proprietà insolite.
Proprio per citarne alcuni:

• Pi-greco        = 3,14 che consente di calcolare la circonferenza partendo dal diametro
• Radice di 3    = 1,73 che segna il rapporto tra la semi-base di un triangolo equilatero e la                      sua altezza
• Radice di 2    = 1,41 che segna il rapporto tra una ipotenusa e un cateto di un triangolo                        rettangolo

Questi numeri sono talmente magici da avere applicazioni scientifiche di rilievo.
La prima che mi viene in mente è il rapporto delle tensioni elettriche: se provate a dividere i 380 volt degli impieghi industriali per i 220 volt domestici, guarda caso si ottiene 1,73.
E che dire della serie di Fibonacci di cui si parla tanto anche negli ambienti borsistici?

Altrettanto vale per il numero ‘e’ che presenta più di una applicazione:

•  
  1. Risolve la funzione esponenziale che abbiamo visto:

1/0! + 1/1! + 1 /2! + 1/3! + 1 /4! …

•  
  1. E’ la soluzione dell’equazione integrale da 1 a y di dt in t
  2. E’ il limite della successione di (1 + z/n) alla potenza n

… e così via.

Tutto questo lungo e, spero, non tedioso ragionamento, per arrivare a dire che quando svilupperemo la formula di Black Scholes in Excel non cadremo dalle nuvole se lungo il percorso ci imbatteremo nell’espressione Exp(x).
Oggi abbiamo imparato che dire Exp(x) significa calcolare ‘e’ elevato alla ‘x’. Niente male, vero?

Ci rivediamo la prossima volta per lo sviluppo di Black Scholes in Excel attraverso la greca Delta che ormai dovrebbe esserci diventata familiare.
Non mancate all’appuntamento.

Francesco Caranti