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Le basi della finanza frattale

Fin dall'antichità, gli studiosi hanno sempre considerato le irregolarità della natura come imperfezioni di una forma ideale. In realtà l'irregolarità è l'essenza di tutto ciò che ci circonda. Compito della geometria frattale è proprio quello di studiare tale irregolarità

di Roberto Domenichini 29 apr 2016 ore 11:55

La geometria Euclidea, del regolare e del perfetto, sembra mostrare tutta la sua fragilità nella spiegazione dei fenomeni naturali e sociali. L'edificio finanziario ad oggi è stato costruito tenendo conto di regolarità, di prezzo e di tempo, che non trovano giustificazione nel mondo del "perfettibile".

Come risolvere allora il problema?
Abbandoniamo la causa?

Assolutamente no! Molto più semplicemente cerchiamo di sostituire la geometria Euclidea con una geometria che approssimi maggiormente la natura intrinseca dei fenomeni sociali in primis e naturali.

Stiamo aprendo la porta alla geometria Frattale. L'etimologia della parola sembra già dispiegare tutte le sue potenzialità. Fractus significa irregolare, frastagliato.

Un grafico vale più di cento parole:



Come potete notare dalla figura gli alberelli stilizzati, creati con la stringa di Lindermayer (ma non complichiamoci la vita), sono generati con un metodo ricorsivo. Gli osservatori più attenti noteranno che le parti del tutto sono via via riscontrabili negli alberelli con meno foglie o con più foglie a seconda del punto di riferimento.

Ma tutta questa complicazione matematica cosa vuole insegnarci?
Tentiamo una spiegazione semplice.

Tutti, almeno una volta abbiamo giocato con un fiore a m'ama non m'ama. Per quanto i petali del fiore vengano tolti progressivamente ci troviamo sempre con un fiore in mano che ha le stesse caratteristiche strutturali del fiore di partenza. In tale contesto parliamo di autosimilitudine di scala. Il fiore iniziale è simile allo stesso, in ogni momento con meno petali.

Due esempi di costruzione di frattali, per comprenderne bene il concetto di autosimilitudine di scala sono: la curva di Koch e il triangolo di Sierpinsky.



"In ogni passo della generazione della curva che abbiamo descritto otteniamo una curva continua che possiamo pensare parametrizzata da una funzione continua sull'intervallo [0,1]. Se si definiscono le parametrizzazioni in modo "ragionevole" si ha che la curva corrispondente ad ogni passo differisce dalla curva del passo precedente di quantità via via sempre più piccole. Si può dimostrare che questa successione di curve è una successione di Cauchy nello spazio di Banach delle curve continue su [0,1] e quindi deve convergere ad un punto limite nello spazio delle curve continue, questo limite è la Curva di Koch.

La curva di Koch così definita gode delle seguenti proprietà:

  1. è continua in quanto limite uniforme di funzioni continue, cioè è una curva nel senso matematico del termine;
  2. ha lunghezza infinita: infatti ogni tappa della sua costruzione aumenta la lunghezza totale nel rapporto di 4/3 e la lunghezza della curva limite è evidentemente superiore a tutte le lunghezze delle curve costruite ad ogni passo;
  3. non è derivabile in nessun punto, infatti una curva derivabile in un punto x0 vista su scale sempre più piccole intorno a x0 tende ad essere vicina ad una retta passante per quel punto, la curva di Koch invece vista su qualsiasi scala è identica a sé stessa."

"Il triangolo di Sierpinski è un frattale, così chiamato dal nome di Wacław Sierpiński che lo descrisse nel 1915. È un esempio base di insieme auto-similare, cioè matematicamente generato da un pattern che si ripete allo stesso modo su scale diverse."

Come investitori non vogliamo impazzire su questioni squisitamente matematiche, anche se più avanti dovremo considerarle, ma comprenderne lo spirito pratico e sfruttabile per l'operatività borsistica.

Il primo studioso di finanza frattale, inconsapevolmente, fu Ralph Elliott. Le onde di Elliott sono la massima espressione del concetto di autosimilitudine di scala, e quindi frattalità, che l'investitore conosca.

A proposito di irregolarità: cosa c'è di più irregolare di un grafico finanziario?

Come possiamo uscirne "vincenti"? Ai prossimi articoli l'ardua sentenza.

Nota: le parti tra virgolette sono state tratte dal Wikipedia.

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