Proviamo prima a fare un semplice esperimento che nel libro di Benoit Mandelbrot viene spiegato molto bene: "Quando si gioca a testa o croce, si può avere lo stesso risultato molte volte di seguito, naturalmente, altrimenti nessuno vincerebbe. E la formula è semplice: la differenza tra la massima vincita di Tommaso (il nostro giocatore) in un certo momento del gioco e la massima perdita in un altro momento varia in proporzione alla radice quadrata del numero dei lanci.

Supponiamo, per esempio, che la partita consista di cento lanci, che la massima vincita di Tommaso sia stata otto e la massima perdita tre. La differenza è quindi pari a undici. Ora immaginiamo che il gioco sia cento volte più lungo, quindi che la moneta venga lanciata 10000 volte. La formula dice che la differenza dovrebbe essere dieci volte più grande, quindi uguale a centodieci. La teoria suggerisce che il risultato migliore di Tommaso potrebbe essere 67 e il peggiore -43".

Sembra complicato ma solo in apparenza.

Come il lettore avrà intuito è solo necessario trasportare questo concetto, secondo il mio modesto parere, all'andamento dei mercati.

Se il campo di variazione non aumenta in ragione di circa la radice quadrata di N ma con un'altra legge vuol dire che la nostra moneta (i prezzi di mercato) è in alcuni casi truccata. Asserire questo potrebbe significare, in automatico, stabilire che la sequenza temporale dei prezzi di Borsa non è del tutto casuale ma soltanto caotica.

Allora i prezzi del passato "scaricano" la loro memoria in un arco temporale prolungato.

In altre parole le tendenze esistono e sono persistenti!

La costruzione dell'algoritmo matematico è stata presa a prestito dall'idrologia ed in particolare da Edwin Hurst. Il coefficiente di Hurst è proprio ciò che la finanza stava cercando per dimostrare la "scientificità" delle tendenze di mercato.

La formula si presenta nel seguente contesto che spiegheremo nel minimo dettaglio:



Per la proprietà dei logaritmi possiamo ricavare H nel seguente modo:

Log(R/S)=H*Log(N)+Log(K)

Non ci rimane che analizzare il nocciolo della formula ovvero R/S:



Per sintetizzare il pensiero di Mandelbrot possiamo dire: "Una delle caratteristiche principali di questo metodo è che i suoi risultati non dipendono dalla organizzazione dei dati. La formula si limita a misurare se la differenza tra i valori massimi e minimi dei dati è superiore o inferiore a quella prevedibile quando ogni dato non dipende dai precedenti. Per determinare il numeratore si calcola il rendimento ri dalla variazione di prezzo di un titolo o di un indice in intervalli diversi (uno, due, ... n giorni) e si confronta con il rendimento medio r sull'intero periodo di n giorni. Si esegue il calcolo per un giorno, poi per due e così via fino a determinare il valore massimo e quello minimo di tutte le differenze. La differenza tra questi due valori stima l'intervallo di variazione della serie. Il denominatore è la comune formula della deviazione standard".

Per il calcolo del coefficiente di Hurst non è sufficiente prendere in toto un intero campione di dati e svolgere i calcoli di R/S.

Si potrebbe fare ma la forzatura verrebbe spinta all'eccesso. Per converso il modello di Edgard Peters sembra trovare un significato "dimostrabile".

Mi spiego con un esempio.

Supponiamo di disporre di 100 rilevazioni giornaliere sull'indice SPMIB. Calcolo R/S sulle prime 10 osservazioni. Poi dalla 11 alla 20. E così via. Ne calcolo la media e ottengo un valore di R/S. Questo passaggio, anche se macchinoso, è indispensabile per dare la stessa importanza ai dati dei sottocampioni.

Dopo calcolo R/S sulle prime 20 osservazioni. Poi dalla 21 alla 40. E attuo lo stesso procedimento sopra descritto. Poi con 25. E infine con 50.

Alla fine regredisco Log (R/S) su Log (N) e il coefficiente angolare della retta di regressione non può che restituirmi il valore stimato di H.

In realtà Peters calcola il tutto sui residui ma il discorso si complicherebbe senza modificare la sostanza del valore di H stimato.

Le osservazioni, anche critiche ma educate, di ciascuno di Voi sono ben accette per giungere ad un perfezionamento del metodo frattale. Eventualmente potremmo anche giungere a dimostrare l'inconsistenza di tale metodo con buona pace dei detrattori.

Quanti fossero interessati ad avere il software per il calcolo di H con il metodo di Peters non devono fare altro che scrivermi una mail all'indirizzo sottostante.

Buona continuazione!

Questo brano è tratto da Il metodo frattale applicato ai mercati di Roberto Domenichini, edito da Trading Library.

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