Questo è tuttora il modello base utilizzato nel pricing dei derivati azionari. Scopo dell'articolo è introdurre i concetti di volatilità e deriva.

La volatilità. Misurare la volatilità significa misurare la variabilità e dispersione di un fenomeno intorno ad un valore centrale, solitamente la media. Bisogna subito premettere che non esiste "una volatilità", ma tante volatilità. Infatti è comune il concetto appena espresso di volatilità, variabile è il modo di esprimere e misurare effettivamente tale grandezza. L'importante è chiarire quale misura di volatilità si utilizza.
Noi utilizzeremo il classico scarto quadratico medio, o standard deviation, ovvero il valore medio assunto dagli scarti dalla media.

La deriva. Cerchiamo di definire il concetto per analogia. Immaginate di versare una goccia di colorante in un lago: le molecole di colorante si diffonderanno piano piano nell'acqua senza seguire una direzione precisa fino a che il colorante sia diliuto più o meno uniformemente. Un classico esempio di moto brawniano.
Ora immaginate di versare una goccia di colorante in un fiume: la goccia si distribuirà sempre in modo casuale nell'acqua, ma seguendo una precisa direzione, ovvero il movimento della corrente del fiume. Questa è la deriva.
Nel mercato azionario la deriva, o drift, è assimilabile al processo che crea il trend di lungo periodo.

Consideriamo l'indice S&P Composite dal settembre1931 all'agosto 2006, frequenza mensile.



In scala logaritmica:



La linea nera rappresenta l'apprezzamento del valore iniziale a settembre 1931 dello S&P, 17,33 , al tasso medio mensile del periodo, mu = 0,59249%, in regime di capitalizzazione composta. Tale valore medio può essere considerato come la deriva  storica dello S&P.

Utilizziamo ora i concetti di volatilità e deriva per definire il modello di passeggiata aleatoria con drift. In forma di processo stocastico abbiamo:



Dove:
dS(t) è la variazione incrementale infinitesima del titolo;
S(t) = valore del titolo al tempo t;
S(0) = valore del titolo al tempo 0;
mu = componente costante di drift
sigma = valore della volatilità
dt = immaginiamolo come una piccola variazione di tempo, per es. un giorno;
dW(t) è un differenziale stocastico, possiamo immaginarlo come una variabile aleatoria a distribuzione normale con media zero e varianza dt.

Il processo può essere discretizzato ed essere implementato su qualsiasi foglio di calcolo nel seguente modo:



dove:
delta_t è la variazione temporale;
Z è una variabile aleatoria Normale standardizzata.

Dalla seconda equazione è possibile osservare che secondo questo modello il prezzo del titolo S si muove in funzione di una componente deterministica costante e positiva, mu, che dipende solo dal tempo, e di una componente aleatoria, sigma, che dipende dalle estrazioni casuali di valori a distribuzione Normale.
Solitamente il valore di mu è minore di sigma: per questo si dice che nel breve periodo prevale la volatilità, mentre nel lungo periodo prevale il drift, ovvero la crescita di lungo periodo.

Vediamo una simulazione basata su questi concetti: 40 passeggiate aleatorie log-normali tutte coi seguenti parametri di deriva e volatilità:

Mu = 0.0059249 ( rendimento medio dello S&P500 nel periodo in esame)
Sigma = 0.0340045 ( deviazione standard dei rendimenti)



In scala logaritmica:



Da questa figura si capisce meglio perché si chiama passeggiata aleatoria log-normale: in scala logaritmica è una passeggiata aleatoria normale. Più precisamente è il logaritmo del prezzo a seguire una passeggiata aleatoria Normale con drift costante.

Nelle 2 figure la linea nera mostra la componente deterministica mu: l'apprezzamento del valore iniziale al tasso mu, in termini finanziari.

Concludiamo ricordando cos'è il modello Random Walk e cosa non è, siccome lo stesso continua ad avere tutt'oggi molti detrattori. È sicuramente un modello base per descrivere i prezzi azionari a fini di gestione del rischio; è un modello che può essere migliorato e perfezionato per tenere conto di quelle che sono le caratteristiche dei rendimenti finanziari (code grasse, volatilità stocastica).
Non è invece un modello che può aiutare nella speculazione di borsa, se non come monito alla imprevedibilità dei rendimenti azionari.

Un saluto

Links utili:

http://en.wikipedia.org/wiki/Random_Walk_Hypothesis
http://en.wikipedia.org/wiki/Louis_Bachelier

Nota: la paternità dell'ipotesi Random Walk andrebbe correttamente attribuita a Louis Bachelier, che per primo introdusse quella che oggi chiamiamo Passeggiata Aleatoria con la sua tesi "Théorie de la spéculation", pubblicata nel 1900.

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