Edward Thorp la utilizzava già da qualche anno a fini speculativi.

L'idea che sta alla base del modello è molto semplice: se riusciamo a costruire un portafoglio in cui è presente un'opzione, e rendere questo portafoglio immune da aleatorietà, sarà poi possibile esprimere il valore dell'opzione in funzione degli altri elementi deterministici del portafoglio. Vedremo infatti come un semplice portafoglio, costituito da una opzione e una certa quantità di sottostante, in condizione di non arbitraggio ci conduce al valore dell'opzione.

Si consideri un portafoglio pi costituito da:

1. una opzione, V(S,t), il cui valore dipende dal sottostante, S, e dalla sua vita residua ,T-t, dove T è il parametro che esprime la scadenza dell'opzione;
2. una quantità delta di sottostante S ( l'azione su cui è scritta l'opzione V).

Assumiamo che il prezzo del sottostante segua una passeggiata aleatoria log-normale di equazione:



Il portafoglio pi in un intervallo di tempo dt varierà a causa della variazione del prezzo del sottostante e dell'opzione:



La quantità delta è una costante, per cui rimane invariata.

Da una fondamentale regola del calcolo stocastico, il lemma di Ito, sappiamo come si comportano le piccole variazioni di un processo stocastico ,V(S,t) , funzione del processo stocastico S, ossia nel nostro caso l'andamento del sottostante, a fronte di piccole variazioni del processo S (dS). 



La variazione del portafoglio, data dalla variazione dell'opzione e del sottostante S, sarà quindi:  



L'equazione (2) dipende da due tipi di quantità: le quantità in dt sono deterministiche, mentre le quantità in dS sono aleatorie (dS è una piccola variazione del sottostante). Le quantità in dS sono le seguenti: 



Se poniamo:  



le quantità in dS si annullano.

Con tale quantità delta di sottostante, eliminando le quantità in dS, diveniamo perfettamente coperti (delta hedging): il nostro portafoglio non dipende più dal sottostante S, ma dipende esclusivamente da quantità deterministiche in dt.

Con un delta così determinato il portafoglio diventa: 



La variazione di pi è priva di rischio, poiché non dipende da termini aleatori: per questo motivo tale variazione non può che corrispondere all'interesse privo di rischio (risk-free) maturato nell'intervallo, come se si trattasse di un titolo privo di rischio, ad esempio un Bot. 



Questo a causa della condizione di non arbitraggio. Se l'equazione non fosse verificata, ovvero i due portafogli si muovessero a velocità diverse, sorgerebbero possibilità di arbitraggio,  la cui esistenza non durerebbe a lungo.

Sostituendo la (1), la (3), la (4) nella (5) otteniamo: 



Dividiamo per dt e riordiniamo: 



È l'equazione di Black e Scholes.

Ricapitolando: abbiamo costruito un portafoglio in cui tramite copertura si è eliminata ogni dipendenza dal sottostante. In questo modo il movimento del portafoglio non è più aleatorio, ma deterministico. In quanto non aleatorio l'apprezzamento di questo portafoglio non può che avvenire al tasso risk free. In quanto non aleatorio possiamo sapere in ogni momento quanto sarà in futuro il  suo valore, e quindi il valore dei singoli elementi, tra cui l'opzione.

Ponendo le dovute condizioni finali ricaveremo dalla formula generale il valore delle opzioni call e put europee.

Sul lemma di Ito:  http://en.wikipedia.org/wiki/It%C5%8D's_lemma (non è necessario capirlo!)

Sul delta hedging: http://en.wikipedia.org/wiki/Delta_hedging   

Edward Thorp: http://en.wikipedia.org/wiki/Edward_O._Thorp

Saluti!


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